Слова составляют паронимическую пару. Часть речи слов: прилагательные.
бродяжий
— Относящийся к бродяге, принадлежащий, свойственный ему. Примеры: бродяжий посох, облик, промысел; бродяжья судьба; бродяжье житьё, настроение, счастье; бродяжьи замашки, привычки, песни. Примеры предложений: У Назыма был характер бродяжий, а в глазах была весёлая сила. (Р. Рождественский, «Назым»)
бродячий
— Постоянно передвигающийся с места на место, странствующий, кочующий. Примеры: бродячий музыкант; бродячая труппа; бродячее существование; бродячая собака. Примеры предложений: Зайцев был одним из последних представителей старого балагана, всю жизнь отдавший народному искусству бродячего цирка. (С. Образцов, «Актёр с куклой»)
Сравните: бродяжья жизнь — жизнь бродяги; бродячая жизнь — жизнь, полная странствий.